Limite d'une fonction en un point
Voir également : asymptotes et continuité
Afin de garder une certaine concision à cette page, il n'a pas été possible de proposer un panel exhaustif de toutes les situations. Le lecteur attentif saura adapter les cas présentés à d'autres situations du même type.
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Idées fausses | ||
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Limite finie en un point
Définition 1
Soit f une fonction définie au voisinage
d'un réel a sauf peut-être en a.
On dit que f admet pour limite un réel L en a
si pour tout intervalle J contenant le réel L, il existe un intervalle
I contenant le réel a tel que pour tout x différent de
a,
si x 
I alors f(x) 
J.
Choisir un réel a.
Trouver alors
un réel L, tel que pour tout intervalle J contenant
L, on puisse déteminer un intervalle I contenant a,
tel que la partie bleue de la courbe se situe dans la zone violette.
En enfonçant la touche Ctrl et en déplaçant la souris,
vous pouvez déplacer la zone représentée.
Un clic droit donne accès au menu
contextuel
Définition 2 (Limite à droite)
Soit f une fonction définie au voisinage
d'un réel a sauf peut-être en a.
La limite à droite de la fonction f en a est un réel l,
si pour tout intervalle J contenant le réel l, il existe un intervalle
I de la forme ]a,e[ tel que pour tout x différent de
a,
si x 
I alors f(x) 
J.
Pour chaque intervalle J contenant
la limite L, déterminer un intervalle I de la forme ]a,e[,
tel que la partie bleue de la courbe se situe dans la zone violette.
En enfonçant la touche Ctrl et en déplaçant la souris,
vous pouvez déplacer la zone représentée.
Un clic droit donne accès au menu
contextuel
On adaptera facilement cette définition à celle de la "limite à gauche en un point".
Exemple d'une fonction
admettant une limite finie à droite et à gauche distincte en a.
En enfonçant la touche Ctrl et en déplaçant la souris,
vous pouvez déplacer la zone représentée.
Un clic droit donne accès au menu
contextuel.
Théorème
Si une fonction admet en un point
une limite finie à droite et une limite finie à gauche et si de plus ces
deux limites sont égales, alors cette fonction admet une limite en ce point
égale à la limite commune.
Limite infinie en un point
Définition 3
Soit f une fonction définie au voisinage
d'un réel a sauf peut-être en a.
On dit qu'en a, la fonction f admet pour limite + 
, si pour tout réel B positif, il existe un intervalle I contenant
a tel que pour tout x différent de a, si x 
I alors f(x) > B.
On adaptera facilement cette définition au cas
où la fonction f admet pour limite 
en un point.
Pour chaque valeur de B choisie,
déteminer un intervalle I de telle manière que la partie bleue de la courbe
se situe dans la zone violette.
En enfonçant la touche Ctrl et en déplaçant la souris,
vous pouvez déplacer la zone représentée.
Un clic droit donne accès au menu
contextuel
On adaptera la notion de limite à droite et à gauche dans le cas d'un limite infinie en un point.
Idées fausses sur les limites en un point
Idée fausse n°1
Il est erroné de penser qu'une fonction admet nécessairement une
limite au voisinage d'un point
Voici un exemple de
fonction n'admettant aucune limite au voisinage de la valeur 2.
On pourra,
par des zooms successifs, observer le comportement de la fonction au voisinage
de la valeur 2.
En enfonçant la touche Ctrl et en déplaçant la souris,
vous pouvez déplacer la zone représentée.
Un clic droit donne accès au menu
contextuel
Idée fausse n° 2
Il est erroné de penser que le comportement "à droite " est
toujours de même nature que le comportement "à gauche" en un
point.
Ici, la fonction admet deux comportements différents à gauche et à droite de la valeur 2.