Soit f une fonction définie au voisinage d'un réel a. On dit que f est continue en a si pour tout intervalle ouvert J contenant f(a), il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout réel x, si x
I alors f(x) 
J.
Voir également : Limite d'une fonction en un point
Définition
Soit f une fonction définie au voisinage
d'un réel a.
On dit que f est continue en a
si pour tout intervalle ouvert J contenant f(a), il existe un intervalle
ouvert I
contenant a tel que pour tout réel x, si x I alors f(x) J.
Choisir le réel a où vous désirez
étudier la continuité.
Pour chaque intervalle J contenant
f(a), on peut trouver un intervalle I contenant a tel que la partie
bleue de la courbe soit
contenue dans la zone violette. Déterminez-le.
En enfonçant la touche Ctrl et en déplaçant la souris,
vous pouvez déplacer la zone représentée.
Exemple d'une fonction non continue
Etudions la continuité en 1. Si l'on choisit J=]1,4 ; 1,6[, il est impossible de trouver un intervalle ouvert I contenant a tel que la courbe bleue soit entièrement incluse dans la zone violette. La fonction n'est donc pas continue en 1.
Théorème 1
Soit f une fonction définie au voisinage
d'un réel a.
f est continue en a
si et seulement si f admet une limite à droite et une limite à gauche en a et si ces limites
sont égales à f(a).
Théorème
Toute fonction dérivable en un point est continue
en ce point.
Attention, la réciproque de ce théorème n'est pas vraie comme le montre l'illustration ci-dessous.
En enfonçant la touche Ctrl et en dépançant la souris,
vous pouvez déplacer la zone représentée.
Un clic droit donne accès au menu
contextuel