Voir également : Fonctions croissantes ; Fonctions décroissantes ; Fonctions monotones
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Théorèmes sur les variations |
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Variations d'une somme de deux fonctions
Théorème
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I. Si f et g sont croissantes (resp. décroissantes) sur I, alors la fonction f+g est croissante (resp. décroissante) sur I.
La figure suivante représente deux fonctions. Choisir un intervalle sur lequel on est certain que leur somme est croissante (ou certain que leur somme est décroissante). Vérifiez en cliquant sur le bouton "Afficher la somme"
Variations du produit d'une fonction par un réel
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et k un réel. On a alors :
1. Si f est croissante sur I et si k > 0 (resp. k < 0) alors kf est croissante (resp. décroissante) sur I.
2. Si f est décroissante sur I et si k > 0 alors kf est décroissante (resp. croissante) sur I
La figure suivante représente une fonction et propose un réel. Choisir un intervalle sur lequel on peut affirmer que le produit de la fonction par ce réel est une fonction croissante sur l'intervalle choisi (resp. décroissante).
Variations du produit de deux fonctions
Qu'en est-il des variations du produit de deux fonctions monotones sur un intervalle ?
Etudier la situation en s'appuyant sur la figure suivante, en mettant en évidence plusieurs cas possibles.
La fonction représentée en rouge est le produit des deux autres.
Variations de la composée de deux fonctions
Théorème
Soit f une fonction définie et monotone sur un intervalle I et g une fonction définie et monotone sur l'intervalle f(I). Alors :
1. Si f et g ont le même sens de variation, leur composée gof est croissante sur I.
2. Si f et g n'ont pas le même sens de variation, leur composée gof est décroisssante sur I.
La figure ci-dessous illustre la composée d'une fonction croissante puis d'une fonction croissante.
Déplacer à la souris le point bleu et observer la figure
La figure ci-dessous illustre la composée d'une fonction croissante puis d'une fonction décroissante.
Déplacer à la souris le point bleu et observer la figure