Similitudes.

Les similitudes directes du plan

Voir aussi : transformations

Définition et
points invariants

Effet sur les distances

Effet sur les angles

Effet sur l'alignement

Modification de l'angle et du rapport

Définition
La similitude directe s de centre O , d'angle et de rapport k réel non nul permet d'associer à chaque point M du plan le point M' unique du plan défini par :
Si M=O , M'=M
Sinon M' est le point défini par: et puis
Le point M' est appelé image de M par la similitude s. On peut noter M' =s(M).

Théorème des points invariants
Si ou si alors O est le seul point invariant.

Pour construire l'image d'un point A par la similitude de centre O , d'angle par exemple (c'est à dire -60°), de rapport par exemple 2.

alt=&quot;Votre Navigateur comprend ce qu'est une appliquette mais ne l'execute pas. Veuillez vérifier vos préférences.&quot; Votre Navigateur ne connait pas les appliquettes! Vous ne pouvez pas executer GeoPlanJ. Désolé... :(

Théorème: effet sur les distances
Une similitude directe de rapport k multiplie les distances par |k| : quels que soient les points A et B d'images A' et B' , A'B'=|k|AB
Si |k| n'est pas égal à 1 les similitudes directes ne sont donc pas des isométries

Théorème: conservation des angles
Les similitudes directes conservent les angles : quels que soient les points A, B et C d'images A', B' et C' , =

Vérifier
On constatera de plus que les angles orientés sont conservés:

Théorème: conservation de l'alignement
Les similitudes directes conservent l'alignement: si trois points A, B et C sont alignés alors leurs images A', B' et C' sont alignées.

On vérifie que si C appartient à la droite (AB) alors C' appartient à la droite (A'B')

Modification du rapport et de l'angle

L'angle en radians de cette similitude est l'angle orienté .
On peut modifier cet angle en modifiant la position de I' sur le cercle.

Le rapport de la similitude est égal à l'abscisse de K dans le repère (O',I).
On peut modifier ce rapport à l'aide des flèches de direction.