Les homothéties du plan

 

Voir aussi transformations

 

Définition et
points invariants

Effet sur les distances

Effet sur les angles

Effet sur l'alignement

Modification du rapport

 

Définition
L'homothétie h de centre O et de rapport k, k réel non nul, permet d'associer à chaque point M du plan le point M' unique du plan défini par : .
Le point M' est appelé image de M par l'homothétie h. On peut noter M' =h(M).

 

Théorème des points invariants
Si k=1 alors tout point est invariant,
sinon le centre de l'homothétie est le seul point invariant.

Dans cet exemple on a k=-1,8

Construire l'image A' de A

On peut vérifier que :
O, A et A' sont alignés
O est le seul point invariant

 

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Théorème : effet sur les distances
Une homothétie de rapport k multiplie les distances par |k| : quels que soient les points A et B d'images A' et B' , A'B'=|k|AB
Si |k| n'est pas égal à 1 les homothéties ne sont donc pas des isométries

 Dans cet exemple on a k=-1,8
Les distances sont donc multipliées par |k|=1,8

Vérifier

 

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Théorème : conservation des angles
Les homothéties conservent les angles : quels que soient les points A, B et C distincts d'images A', B' et C' , =  

 

Vérifier

On constatera de plus que les angles orientés sont conservés:

 

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Théorème : conservation de l'alignement
Les homothéties conservent l'alignement: si trois points A, B et C sont alignés alors leurs images A', B' et C' sont alignées.

 

On vérifie que si C appartient à la droite (AB) alors C' appartient à la droite (A'B')

 

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 Modification du rapport de l'homothétie  

Le rapport de l'homothétie est égal à l'abscisse de K dans le repère (O',I).

On peut modifier ce rapport à l'aide des flèches de direction et observer le triangle A'B'C' image du triangle ABC par cette homothétie.

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