Suites et fonctions
Théorème 1
Si u
est une suite convergente vers un réel L et si f est une fonction
continue en L, alors la suite f(un) converge
vers f(L).
L'hypothèse "f continue en
L" est une condition suffisante mais pas nécessaire comme l'illustrent
les deux situations ci-dessous :
Situation 1
La suite u converge vers
2,
la fonction f est définie
par f(x) = E(x) + x/2
f n'est pas continue en 2,
La suite f(u)
ne converge pas.
Situation 2
La suite u converge vers
2,
la fonction f est définie
par f(x) = E(x) + x/2,
f n'est pas continue en 2,
Pourtant la suite f(u)
converge.
L'hypothèse "u convergente" est une condition suffisante
mais pas nécessaire
comme l'illustre l'exemple suivant :
La suite u ne converge
pas et pourant son image par la fonction f converge
Thèorème 2
Soit u une
suite de terme général un=f(n). Si 
alors la suite u
converge vers L
Enoncé de la réciproque
du théorème 2 : Soit u une
suite de terme général un=f(n). Si (un)
converge vers une limite L alors 
Ci-dessous, la
suite (un) converge vers 1 sans que la fonction n'admette
pour limite 0 au voisinage
de l'infini