Théorème fondamental sur les suites convergentes
Théorème fondamental
1. Toute
suite croissante et majorée converge.
2. Toute suite décroissante et minorée
converge.
Autre formulation du théorème fondamental
Toute
suite monotone bornée est convergente
Importance des hypothèses du théorème fondamental
Qu'advient-il si l'on enlève l'une ou l'autre des deux hypothèses du théorème :
Une suite bornée non croissante peut ne pas converger...
Une suite croissante non majorée diverge vers plus l'infini :
La condition de monotonie n'est pas nécessaire à la convergence d'une suite
Voici une suite qui n'est pas monotone et qui pourtant converge.
Idée fausse
Une suite croissante majorée par
un réel M converge vers M.
Exemple d'une suite croissante majorée par 3.1 et qui converge vers 1.