Ajustement linéaire

 

Dans cette page, on considère un nuage de points de coordonnées (xi ; yi ) associé à une série statistique à deux variables X et Y

Définition 1
On appelle Point Moyen d'un nuage de points, le point ayant pour abscisse (resp. ordonnée) la moyenne arithmétique des abscisses (resp. ordonnées) des points du nuage.

Remarques :

Définition 2
Effectuer un ajustement de y en x d'un nuage de points, c'est trouver une fonction f telle que la courbe d'équation y=f(x) passe le plus près possible de tous les points du nuage.

Définition 3
Ajuster un nuage par la méthode des moindres carrés, c'est chercher une fonction f minimisant la quantité appelée somme des résidus.

Théorème
Si le nuage a une forme "suffisamment allongée", on peut ajuster le nuage par une une fonction affine en utilisant la méthode des moindres carrés.
La meilleure fonction possible est de la forme f(x)=a(x-x)+y avec a=

Remarque :

S'il existe un lien de causalité entre les deux variables, la fonction ainsi obtenue modélise la corrélation entre les deux variables

Sur la figure ci-dessous, les points bleus représentant les deux séries statistiques sont déplaçables.
Modifier l'équation de la droite d'ajustement et minimiser l'une des deux sommes des résidus proposées.

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